Geometria e forças

As estruturas tradicionais em alvenaria estrutural sustentam a construção ao mesmo tempo que elas delimitam espaços interiores. No entanto, essas paredes só são úteis se pudermos praticar aberturas nelas para permitir a passagem, iluminação e ventilação. Assim como a concepção estrutural do conjunto, essas aberturas podem ser de dois tipos: arquitravadas, isso é, formadas por vigas, ou arqueadas, isso é, formadas por arcos na própria alvenaria.

Juntamente com a temática das coberturas, trata-se de questões mais complexas e importantes para a espacialidade da arquitetura tradicional (em que não há grandes diferenças entre interiores e exteriores).

Destaca-se que abóbadas e cúpulas não são tão eficientes para a arquitetura moderna, sendo abandonadas atualmente. São utilizadas apenas onde for necessário, considerando-se ainda seus efeitos simbólicos e estéticos.

Elas originam-se em duas regiões: África subsaariana (abóbadas em adobe ou taipa) e na Índia (em madeira sobrada a vapor ou serrada).

a
b
c
d

Figura 1: Abertura arquitravada (verga) e arqueada (arco). a – vão arquitravado, b – cargas, c – vão arqueado, d – cargas


O arco é uma estrutura em alvenaria que serve para transformar esforços de tração em esforços de compressão. Isto é, em vez de fazermos uma abertura arquitravada onde uma verga trabalha à flexão para resistir ao carregamento da parede acima dela, o arco vai receber essa carga e distribuí-la para os lados, comprimindo os blocos sucessivos que fazem parte dele. fig. 1

Arcos falsos: são paredes em alvenaria que se alargam criando pequenos balanços, mas mantendo-se como estruturas arquitravadas que trabalham à flexão, diferente dos arcos reais que funcionam mais à compressão.

Eles raramente são usadas isoladamente e transformam cargas verticais em diagonais (descarregando-as para os lados). A maneira mais fácil de manejá-los é a utilização de uma sequência deles na forma de uma arcada, de modo que travam a si mesmos. Elas são realizadas pelos romanos com frequência.

Em geral, os arcos são mais úteis quando extrudados, formando uma abóbada de berço, o que gera espaços generosos e com certa impressão de monumentalidade. Trata-se de uma solução estrutural simples e sem grandes desafios geométricos, mas que demanda uma construção muito precisa a partir de um cimbramento cilíndrico que se desloca, resultando em uma construção eficiente, leve e econômica.

É possível aliviar essas estruturas separando-as em elementos portantes e sustentados, sendo importante compreender como uma estrutura primária ajuda a sustentar uma secundária (que é autoportante, mas dependente da estrutura primária para ser executada).

Figura 2: Componentes do arco. a–aduelas, b–imposta, c–chave, d–pilar ou maciço, e–contraforte

Os blocos de alvenaria que constituem o arco são chamados de aduelas; a aduela central de um arco é a chave e os blocos assentados horizontalmente que sustentam as aduelas mais externas são as impostas. Os arcos tradicionais em geral precisam de contenções laterais que chamamos de contrafortes. fig. 2

As aduelas são as peças mais importantes nos arcos, por possibilitarem sua divisão em partes menores, tornando-os ideais para grandes vãos.

Os contrafortes recebem a carga diagonal distribuída pelos pilares e transferem-na para o solo externamente. São empiricamente dimensionados pela divisão do arco em três partes, criando uma espécie de trapézio ao qual tem-se duplicado seu comprimento lateral para se estabelecer sua espessura final.

Os capitéis têm a função é oferecer um apoio mais largo na base dos arcos e aliviar o esforço cortante que chega quase verticalmente às colunas, além de apoiar o cimbramento.

Assim como as vigas, os arcos precisam ser dimensionados segundo a carga que eles recebem e a abertura do vão. Apesar disso, numa construção arqueada a forma da estrutura vai ser muito mais importante do que o tamanho das peças consideradas individualmente. Para aumentar as dimensões de uma estrutura arquitravada, temos que usar materiais de dimensões maiores: encontrar troncos de árvores maiores ou cortar pedras maiores.

Já no caso de arcos, abóbadas e cúpulas, o tamanho do vão e da estrutura não dependem diretamente do tamanho dos blocos que vão ser usados. Podemos construir estruturas arqueadas muito grandes, como a cúpula do Panteão em Roma com 43 metros de vão livre, usando só blocos de pedra que podem ser assentados à mão usando argamassa. fig. 3

As aduelas são as peças mais importantes nos arcos, por possibilitarem sua divisão em partes menores, tornando-os ideais para grandes vãos.

Figura 4: Elevação e corte do tholos no santuário de Esculápio em Epidauro, c. 360–320 a.C. Reconstituição por Massimiliano Pezzolini, 2003

Quando falamos de fundações, já vimos que a distribuição homogênea das cargas de um edifício é uma das preocupações centrais da construção tradicional. Isso nos leva a buscar toda uma série de correspondências entre dimensões, e em última análise favorece as composições com simetria bilateral ou mesmo central. fig. 4

Por isso, sempre que dimensionamos uma estrutura tradicional, esse dimensionamento supõe cargas uniformemente distribuídas sobre cada elemento portante (fig. 5 B).

Figura 5: Forças numa estrutura arquitravada: (A) carga axial concentrada; (B) carga uniformemente distribuída causando esforços de flexão (deformação nas linhas tracejadas) e cisalhamento (C)

Nos procedimentos tradicionais de construção, é claro que não vamos calcular essas cargas usando as fórmulas matemáticas da engenharia estrutural moderna, e sim adotar dimensões consagradas pela experiência prática. Fazemos isso por três motivos.

  • Em primeiro lugar porque os materiais de construção naturais não têm características de desempenho padronizadas como os materiais industrializados.

  • Em segundo lugar porque as cargas acidentais tendem a ser muito pequenas se comparadas às cargas permanentes da construção tradicional.

Figura 6: Léon Krier, Edifícios da Universidade de Yale: idade e primeira campanha significativa de reformas, 1990
  • Em terceiro lugar porque a estabilidade das estruturas no longuíssimo prazo da vida útil de construções tradicionais é diferente da estabilidade que pode ser calculada para o tempo de serviço relativamente curto das construções modernas. fig. 6

Apesar do maior consumo de materiais numa construção tradicional, essa é mais sustentável no sentido amplo do que uma construção industrializada. Isso é o caso porque a pegada de carbono dos materiais naturais é muito mais baixa e, principalmente, porque a estrutura tradicional vai ter uma vida útil muito mais longa para amortizar essa pegada de carbono.Ciblac e Morel, Sustainable Masonry.

Um dos aspectos chave na durabilidade das construções tradicionais é a preferência pela compressão sobre a flexão. Por causa de um certo superdimensionamento empírico das estruturas tradicionais à compressão, elas em geral têm uma margem de segurança muito maior do que as estruturas à flexão, como vigas. Além disso, as estruturas à compressão costumam ser dimensionadas segundo critérios geométricos de distribuição das cargas, mais do que pelo limite de escoamento ou esmagamento do próprio material. Isso faz com que a estabilidade da construção seja mais fácil de definir a partir de critérios empíricos. Apesar disso, o desenvolvimento da matemática moderna nos dá uma compreensão importante sobre como funcionam os arcos tradicionais.

Figura 7: Galileu Galilei (1564–1642), retratado por Justus Sustermans, c. 1640

A ciência moderna mudou radicalmente o modo de olhar para os arcos. De uma busca pela geometria perfeita, passamos a olhar para as forças que agem sobre a estrutura. Esse conhecimento começou a ser desenvolvido na primeira metade do século XVII pelo famoso astrônomo italiano Galileu Galilei e, em seguida, pelo físico inglês Robert Hooke figs. 7, 12.Benvenuto, Vaulted Structures and Elastic Systems.

Você já deve ter ouvido falar do experimento de Galileu sobre a queda de objetos leves e pesados. fig. 8 No começo do século XVII, ainda não existia o conceito de “lei da gravidade”. Essa “lei” só seria desenvolvida na segunda metade do século por Giovanni Borelli, Hooke e Isaac Newton.

Figura 8: Conceituação do peso dos corpos segundo Aristóteles e Galileu. Sergio Cacciatori, 2017

Figura 9: Modo de aplicar o quadrante para estimar a trajetória de tiro, segundo Diego Ufano, 1628

Galileu estava interessado num problema prático: desenvolver um método mais preciso para avaliar o alcance da artilharia, ou seja, a trajetória das balas de canhão. Até então, acreditava-se que as balas seguiam uma trajetória retilínea até esgotar a sua energia cinética, e então caíam numa trajetória curva, como ilustrado nesse diagrama de Diego Ufano publicado em 1628. fig. 9

Galileu, porém, descobriu que a trajetória era curva do começo ao fim, como ele anotou nos seus cadernos. fig. 10

Figura 10: Galileu Galilei, manuscrito no códice 72, fl. 116 v.º

Figura 11: Galileu Galilei, manuscrito no códice 72, fl. 117 r.º

Galileu considerou que a curva balística se aproximava a uma parábola, e descreveu essa curva pelas suas tangentes. fig. 11

Figura 12: Rita Greer, Robert Hooke (1635–1703): cientista, arquiteto, engenheiro. Óleo sobre madeira, 2009

Mais adiante, Robert Hooke descobriu a curva do tiro de canhão é, na verdade, de uma catenária, ou seja, a curva descrita por uma corrente suspensa pelo seu próprio peso, como a que está representada nas mãos do próprio Hooke nessa pintura comemorativa por Rita Greer fig. 12.

A catenária é a função do cosseno de uma hipérbola, enquanto a parábola é o resultado de uma função do segundo grau ou função quadrática (aquela onde a gente usa Bhaskara). fig. 13

Ela é a forma ideal do arco, gerada a partir de uma curvatura que permite que o arco sustente seu próprio peso. Exemplo: Sagrada Família do Gaudí.

Figura 13: Catenária e parábola comparadas. Gráfico: Dino, 2016

A conclusão mais importante de Hooke foi perceber que as forças podiam ser invertidas, e a descrição de uma catenária podia ser usada para construir um arco simples, que só sustentasse o seu próprio peso.Benvenuto, Vaulted Structures and Elastic Systems, 328.

O arquiteto e astrônomo Christopher Wren, que era amigo de Hooke, usou essa descoberta no processo de projeto da cúpula da catedral de São Paulo, em Londres. fig. 14

Figura 14: Croquis de Christopher Wren para a cúpula da catedral de São Paulo, Londres, c. 1705. Museu Britânico

Apesar dessa descoberta, a parábola de Galileu continua sendo útil, porque ela descreve a forma de uma corrente uniformemente carregada — por exemplo, os cabos ou cordas que sustentam o tabuleiro de uma ponte suspensa, por exemplo as pontes tradicionais dos Andes. fig. 15

Figura 16: Planta da igreja da Sagrada Família. Acervo da fundação Templo Expiatório da Sagrada Família via ArchDaily

Figura 17: Corte longitudinal da igreja da Sagrada Família, Barcelona

Figura 18: Antoni Gaudí, arquiteto, maquete de cargas nas abóbadas do templo expiatório da Sagrada Família, Barcelona, último quartel do século XIX. Foto: David Clay, 2013

Figura 19: Vista da igreja da Sagrada Família em construção, 2002

Na verdade, como já dissemos, a construção tradicional considera que todas as estruturas estão uniformemente carregadas, portanto a parábola vai nos servir para analisar a forma teórica da maioria dos arcos. Além disso, mesmo as teorias mais avançadas do final do século XVII vão desconsiderar o atrito entre os blocos, e portanto resultar em equações isostáticas, como as do matemático francês Philippe de la Hire fig. 20.Benvenuto, Vaulted Structures and Elastic Systems, 326.

Figura 20: Philippe de La Hire, modelo de forças num arco, 1695

Até a metade do século XVIII, todas as especulações sobre o cálculo dos arcos se baseavam na pura geometria. Esse pressuposto é razoável, tendo em vista que na maioria das aplicações a resistência da pedra ou do tijolo ao esmagamento e mesmo à flambagem é mais do que suficiente. Por outro lado, a contribuição do atrito da argamassa para a estabilidade é mínima. Portanto, os arcos só poderiam falhar por defeitos de geometria. Só no século XIX é que começou a ser possível calcular a deformação elástica da matéria que constitui os arcos.

Figura 21: Análise gráfica do estado limite de um arco em alvenaria com quatro aduelas estabilizado por um contraforte. Rondeaux e Zastavni, “A Fully Graphical Approach…”

Dito isso, arcos tradicionais dificilmente podem ser descritos usando a análise estática calculada, porque a sua forma e materiais são menos padronizados do que a construção industrializada moderna. Quase sempre, eles sofrem deformações ao longo do tempo e acabam assumindo formas ligeiramente irregulares. Isso causa dificuldades importantes para a conservação dessas estruturas. Em compensação, as forças que agem nesses arcos podem ser esquematizadas com muita facilidade usando um diagrama funicular.Rondeaux e Zastavni, “A Fully Graphical Approach for Limit State Analysis of Existing Structures.

Estruturas lineares

Agora que já sabemos como funciona um arco do ponto de vista da distribuição de cargas, vamos ver quais são as soluções efetivamente praticadas em algumas tradições arquitetônicas. Entre a forma matemática ideal e a realidade construída, uma série de considerações práticas vai impor alguns compromissos na eficiência da estrutura.

Origem dos arcos

Figura 22: Origens da construção arqueada; amarelo: extensão do uso de arcos até o século XIV, vermelho: prováveis regiões de origem — Sudão e Núbia, na África, e noroeste da Índia. Pedro P. Palazzo, 2021
  • Estruturas parabólicas em madeira na Índia
  • Blocos de adobe fixados por atrito, sem cimbramento, na Núbia

Arcos falsos não são arcos

Figura 23: Palácio maia no sítio de Palenque, atual México, século VII d.C. Foto: Bernard Dupont, 2020

Figura 24: Arco falso ou arco de mísulas. a – compressão axial, f – flexão

Figura 25: Distribuição ideal de cargas na metade esquerda de um arco falso, segundo Ciblac e Morel, Sustainable Masonry

Catenárias e parábolas

O estudo matemático das cargas à compressão pura mostrou que a catenária é a forma ideal de um arco que só sustenta o seu próprio peso. Esse é o caso de muitos arcos que geram o traçado de coberturas de edifícios, já que a catenária permite fazer uma estrutura mais leve, economizando material. fig. 26

Figura 26: Arco em forma de catenária construído em adobe. Foto: Max Corradi, 2012

Por isso, alguns dos mais antigos traçados de arcos têm formas que se aproximam muito de uma catenária matematicamente perfeita. Além disso, as curvas artesanais são sempre aproximadas, e a conversão de uma catenária em parábola é simples.

O princípio estrutural do arco verdadeiro é conhecido no Egito, na Núbia e na Mesopotâmia pelo menos desde meados do II milênio a.C. Os mais antigos arcos foram construídos em adobe, e talvez provenham da África subsaariana. Construções em forma de catenária são comuns até hoje na região que vai da Núbia (ao sul do Egito, no atual Sudão) aos lagos da África central (atuais Camarões e Chade). fig. 27

Figura 27: Association la Voûte Nubienne, construção de abóbadas núbias, Sudão. Produção: Autodesk e Dezeen, 2016.

a b

Figura 28: Construção de abóbadas núbias, segundo Choisy, Histoire de l’architecture. a – procedimento de execução dos arcos sucessivos, b – variações: arcos inclinados e sobrepostos

Figura 29: Ruínas do eyvan-i Medayin (arco de Ctesifonte), Pérsia sassânida (atual Taq Kasrā, Iraque), 241 d.C. Direção: Pejman Akbarzadeh, 2018.

O arco catenário ou parabólico quase nunca é usado como uma abertura simples na parede. Ele é ideal como gerador de uma abóbada linear para cobrir um ambiente ou uma construção inteira. fig. 29

Sustentam cargas além do próprio peso, tendo a vantagem de quase não consumirem madeira, usando apenas adobe. Tornam-se ideais para regiões semiáridas e com pouco madeiramento, resultando em espaços amplos e elegantes.

Essa tecnologia espalha-se pelo Egito e talvez Mesopotâmia, partindo do antigo Sudão.

São feitos de tijolos cozidos relativamente leves, sustentados entre si apenas pelo atrito entre tijolo e argamassa.

a
b

Figura 30: Eyvan com arco em catenária, Ctesifonte. Silk Cities, 2020. a – estado atual, b – reconstituição

Figura 31: Construção arqueada na Pérsia e no norte da Índia. Percy Brown, 1900

Arco pleno

A catenária e a parábola são as formas mais eficientes para se construir arcos leves em adobe ou, em alguns casos, tijolo cozido. Para grandes estruturas onde os arcos precisam sustentar cargas pesadas, a pedra ou grandes massas de tijolo são as melhores soluções. Nesses casos, o arco pleno ou de meia-volta é a forma mais conveniente tendo em vista o processo construtivo como um todo.

Ressalta-se que as catenárias e parábolas são complexas de se traçar, em contraposição à economia na obra e aos grandes vãos que geram.

O arco pleno é usado desde a Antiguidade como abertura em paredes ou muralhas, onde a parábola seria uma complicação desnecessária. A alvenaria é capaz de absorver os empuxos laterais gerados pelo arco semicircular, portanto a simplicidade da sua forma e execução representa uma vantagem. fig. 32

Como aberturas em paredes, tende-se a utilizar os arcos semicirculares, que são mais simples e fáceis de executar, além de serem mais adequados esteticamente. Os arcos plenos são a grande marca da construção monumental romana: “arcos do triunfo”.

Os diferentes tipos de arcos caracterizam-se pelas diversas formas de distribuição de carga. Por exemplo, os arcos planos distinguem-se das estruturas arquitravadas pelo fato de que os primeiros são formados por aduelas com juntas diagonais que funcionam como arcos estruturalmente, mesmo não sendo curvos, já que distribuem as cargas à compressão pelas laterais.

Não existem evidências arqueológicas dos arcos em madeira na Índia védica, apenas representações talhadas na rocha, indicando seguirem o mesmo princípio estrutural das cabanas árabes estudadas anteriormente.

Figura 32: Porta etrusca, Perugia, segunda metade do século III a.C. Gustavo Stafforello, La patria, geografia dell’Italia, 1895

Figura 33: Arco do triunfo de Constantino, Roma, após 313 d.C. com espólios dos séculos I–III d.C. Foto: AlfvanBeem, 2011

A epítome do portal com arcos plenos é o arco do triunfo romano. Essas estruturas foram construídas para celebrar triunfos militares com uma entrada simbólica do exército romano na cidade debaixo de um arco. O arco provisório construído para o triunfo era, às vezes, reconstruído numa estrutura permanente para imortalizar o evento. fig. 33 Essa tradição romana fez com que as estruturas arqueadas passassem a ser associadas, na bacia do Mediterrâneo, com as ideias de monumentalidade e grandeza.

Arco plano

a
b

Figura 34: Vãos horizontais. (A) – compressão axial, (A′) – transferência das cargas para os apoios, (F) – flexão. a – arquitravado, b – arco plano

Dimensionamento sem cálculo

a
b
c

Figura 36: Dimensionamento da espessura de um arco segundo Leonardo da Vinci. a – intradorso do arco, b – retas tangentes ao ponto médio entre a base e o ápice, c – extradorso do arco cruza as retas na base e no eixo


Ogivas

a b

Figura 37: Período védico na Índia. Mapas: Avantiputra7, 2014. a – migrações arianas no período védico inicial, b – reinos nāgara do período védico tardio

Outra hipótese para a origem da construção arqueada está na arquitetura tradicional em madeira do noroeste da Índia durante os II–I milênios a.C. Nesse período, os arianos, um povo seminômade indo-europeu que dominava a metalurgia em ferro, fig. 37 migrou para a região e adotou um sistema construtivo feito de madeira serrada, diferente das construções em tijolo da cultura do vale do Rio Indo.

Nessa tradição, os telhados arqueados das kuṭikā (cabanas ou edículas) podem ter sido construídos a partir de pórticos transversais formados por várias peças de madeira. Essa hipótese foi descrita pelo historiador da arte indiano Percy Brown no começo do século XX.Brown, Buddhist and Hindu Periods.

fig. 38

Figura 38: Reconstituição de um povoado védico segundo Percy Brown, 1900

Figura 39: Império Maurya no seu auge. Desenho: Avantiputra7, 2014

Essa tradição só é atestada pela mediação de salões de mosteiros budistas escavados na rocha no período Maurya, a partir do século III a.C. fig. 39

Nos mosteiros de Lomas Ṛṣi, Kārli e Bhājā, a articulação decorativa dos espaços parece remeter a uma tectônica (expressão estrutural) da construção em madeira. fig. 40

a b

Figura 40: Reconstituição de estruturas arqueadas em madeira a partir de exemplares talhados na rocha, centro e norte da Índia antiga. Percy Brown, 1900. a – membros estruturais, b – interiores

Figura 41: Esquema estrutural de um mudhif

fig. 41 O princípio é análogo ao do mudhif, a casa feita de arcos em feixes de de juncos dos ma’dan, os “árabes do pântano” que vivem no sul do Iraque.

A kuṭikā serve como módulo básico para construções maiores, como casas, templos e palácios. A própria palavra se refere à curvatura das coberturas feitas de madeira. Essa curvatura é uma das características mais evidentes nas representações em pedra, como a da caverna de Lomas Ṛṣi, no norte da Índia. fig. 42

Figura 42: Portal da caverna ājīvika de Lomas Ṛṣi, Barabar, Bihar, século III a.C. Foto: Anandajoti Bhikku, 2013

Figura 43: Representação da cidade de Kusināgarā no relevo da guerra pelas relíquias do Buda, portal sul do estupa 1 em Sāñćī, centro da Índia, século I d.C. Foto: Anandajoti Bhikku, 2017

A empena curva é o traçado gerador de grandes salões abobadados nos antigos palácios indianos. fig. 43

As coberturas têm uma aresta na cumeada, para melhor drenar a água da chuva. Essa pode ser a origem do que chamamos de arco apontado ou ogival. fig. 44

Arco ogival: não atinge a eficiência máxima de uma parábola, mas é suficientemente conveniente para ser usado, tendo a vantagem de gerar um empuxo muito pequeno, o que resulta em um contraforte mais estreito do que o oferecido pelos arcos plenos ou rebaixados (estes recebem um maior empuxo). Entretanto, demandam mais material na parte superior para desviar as cargas para a vertical. Exemplos: Panteão e Catedral de Santa Sofia, com suas cúpulas mais rebaixadas e elementos vazados que demandam paredes mais espessas (ainda que permitam a existência de nichos internos).

Figura 44: Reconstituição de um portão na muralha de Kusināgarā a partir do relevo da guerra pelas relíquias do Buda. Percy Brown, 1900

Taylor e Mark, “The Technology of Transition.

Henriet, Recherches sur les premiers arcs-boutants. Un jalon.

Estruturas espaciais

Abóbadas de berço

As abóbadas podem constituir-se de arcos “extrudados”, formando telhados ovalados ou arqueados. Destacando-se que os romanos não são os únicos a utilizá-las, apesar de serem marcados pela monumentalidade e pés-direitos altos que possibilitam, mesmo em edifícios pequenos. Com as nervuras, tornam-se mais sólidas e estáveis.

As abóbadas tornam-se o sistema construtivo padrão para a monumentalidade na Europa, destacando-se sua grande resistência ao fogo, entre outras vantagens.

A conotação monumental e a proteção contra o fogo que um teto em alvenaria oferece fazem com que as abóbadas geradas por arcos plenos sejam uma solução consagrada para cobrir espaços importantes. A extrusão de um arco pleno é conhecida como abóbada de berço.

Figura 46: Basílica romana conhecida como templo de Diana, Nîmes, sul da França, século I d.C. Produção: município de Nîmes, 2021.

Figura 47: Basílica romana conhecida como templo de Diana, Nîmes, sul da França, século I d.C. Foto: Martin Kraft, 2016

Figura 48: Santuário de Fortuna primigenia, Praeneste (atual Palestrina, a sudeste de Roma), iniciado c. 120 a.C. Reconstituição segundo Andrea Palladio, segunda metade do século XVI

Figura 49: Hemiciclo das colunas, santuário de Fortuna primigenia, Praeneste. Foto: Zanner, 2007

Figura 50: Igreja visigótica de San Pedro de la Nave, El Campillo (Zamora), Leão, Espanha, século VII. Desenho de Ricardo Arredondo y Calmache, final do século XIX

Figura 51: Abobadilhas romano-bizantinas. Auguste Choisy, Histoire de l’architecture

Arcos e abóbadas costumam ser feitos com elementos relativamente grandes e pesados. Mas, no século V, os romanos começaram a construir abóbadas leves feitas de pequenos tijolos quadrados. fig. 51 Assim como a abóbada núbia, essas abobadilhas podem ser erguidas usando apenas o atrito da argamassa, sem cimbramento.

Foram inventadas pelos romanos e são formadas por grandes ladrilhos sustentados apenas pelo atrito da argamassa, por isso não suportando grandes cargas. Exemplo: cúpula da Catedral de Santa Sofia assentada sobre uma base quadrada.

Arcos construídos lado a lado estabilizam uns aos outros, resistindo aos empuxos laterais. fig. 52 No entanto, isso não é o caso para as abóbadas.

Figura 52: Elevação das arcadas do teatro de Marcelo, Roma, século I. Gravura de Giovanni Battista Piranesi, 1756

Contenção de arcos e abóbadas

Figura 53: Construção de abóbadas romanas com arcos ressaltados. Auguste Choisy, Histoire de l’architecture

Figura 54: Nave da igreja do mosteiro de São Pedro de Rodes, Girona, Catalunha, iniciada em 878. Foto: Alberto G Rovi, 2013

Figura 55: Vista desde sudoeste da igreja de Santa María del Naranco, Oviedo, Astúrias, 848. Foto: Eliazarracina, 2013

a
b
c

Figura 56: Dimensionamento de contrafortes segundo o método do P.e François Derand. a – divisão do arco por cordas de mesmo comprimento, b – extensão das cordas, c – o comprimento dos segmentos determina a espessura dos contrafortes; o rebatimento vertical das cordas determina a altura mínima dos contrafortes

Figura 57: Dimensionamento dos contrafortes para diferentes tipos de arcos pelo método do P.e François Derand. Desenho: François Blondel, 1675

Cúpulas

Figura 58: Apolodoro de Damasco, arquiteto, Pantheon, Roma, 113–125 d.C. Corte longitudinal por Giovanni Battista Piranesi

Trompas e pendentes

Figura 60: Catedral de S. Crispim, Etchmiadzin, Armêmia, iniciada em 630. Filmagem: Expoza Travel, 2018.

Para apoiar uma cúpula sobre uma base quadrada, uma solução simples é a trompa: um arco posicionado sobre o ângulo reentrante. Trata-se de pequenos arcos em diagonal (tronco de cone) entre dois arcos principais, que permitem a transformação de uma planta quadrada, com um tambor octogonal mais acima, para sustentar uma cúpula.

A calota é uma cúpula seccionada por quatro (ou mais) arcos. Trata-se de uma outra solução de transição, semelhante à trompa, que resulta no corte das laterais da cúpula até que se encaixe na base quadrada, levando a uma perda de altura. Ela pode também receber outra cúpula completa apoiada sobre si, chamada de pendente, como visto na catedral de Santa Sofia.

Figura 61: Calota do período bizantino em Constantinopla. Desenho: Auguste Choisy, L’art de bâtir chez les Byzantins

Figura 62: Calotas sustentando cúpulas, período bizantino, Constantinopla. Desenho: Auguste Choisy, L’art de bâtir chez les Byzantins

Figura 63: Antêmio de Trales e Isidoro de Mileto, arquitetos, catedral de Santa Sofia, Constantinopla, 532–537. Vista isométrica seccionada: [Ogodej, 2012]

Figura 64: Corte longitudinal de Santa Sofia, Constantinopla. Coleção particular

Figura 65: Modelo digital de Santa Sofia. Realização: Juan Álvarez.

Avner, “The Dome of the Rock in Light of the Development of Concentric Martyria in Jerusalem”.

Grabar, “The Islamic Dome, Some Considerations”.

Smith, The Dome.

Smith, “East or West in 11th-Century Pisan Culture.

Cruzarias

Figura 66: Abóbada de aresta, período bizantino, Sabandja. Desenho: Auguste Choisy, L’art de bâtir chez les Byzantins

Figura 67: Igreja visigótica de S. Comba de Bande, Galiza, século VII, transepto. Foto: Pedro P. Palazzo, 2014

Figura 68: Basílica de Santa Maria Madalena, Vézélay, França, 1104–1132. Foto: Zairon, 2016

Abóbadas nervuradas

Ball, Universe of Stone.

a b

Figura 69: Abóbada nervurada em cruzaria. Desenho de Jean-Claude Golvin. a – nervuras, b – abóbada revestida com a sua calota

Figura 70: Distribuição de empuxos no corte de uma igreja gótica. Desenho por Jean-Claude Golvin

Figura 71: Distribuição de empuxos em arcos-botantes, segundo [Ciblac e Morel, 2014]

Figura 72: Cortes comparativos de sucessivas igrejas góticas, segundo Grodecki

A combinação desses diferentes avanços tecnológicos permite o aumento na altura das igrejas góticas ao longo do século XIII.

Arcos, abóbada e cúpulas não constituem um modo de construir industrializado, como a maioria dos demais sistemas construtivos tradicionais passaram a ser, tornando-se praticamente abandonados. Os últimos ganham uma versão mais rígida e eficiente do ponto de vista do desempenho ao serem modernizados, ainda que menos duráveis sob a perspectiva da resiliência. As poucas construções arqueadas modernas tendem a um caráter monumental e não seguem os mesmos princípios de desempenho estrutural que as tradicionais (geralmente são estruturas arquitravadas que lembram visualmente os arcos, como no caso dos palácios de Brasília). As abóbadas e cúpulas seguem a mesma lógica. Por essa razão, o conhecimento executivo dessas tipologias estruturais não foi desenvolvido na modernidade, ainda que esteja sendo recuperado e reconstruído na atualidade.

Arquitetura subtrativa

  • Exploração dos espaços internos: com o uso de formas geométricas claras e abóbadas, mesmo em locais que não são escavados.
  • Contrastes trazidos pela abordagem das aulas, em contraposição à bibliografia tradicional sobre as temáticas abordadas.

Preferência temporal

  • conceito originário da Economia e vinculado à Arquitetura, através da relação entre processos construtivos (diferentes opções de sistemas construtivos utilizados ao longo do tempo) e seus custos-benefícios (disponibilidade de materiais, mão-de-obra e fator tempo de duração).
  • Essa abordagem da história sob uma perspectiva cultural ou tecnológica (e não apenas cronológica, extrapolando-a) traz uma reflexão sobre a passagem do tempo, de modo a se estudar a “Arquitetura na História” e não a “História da Arquitetura”.
  • O sequenciamento linear da Arquitetura ou da cultura é uma forma muito moderna de se pensar, a partir de uma “chave” para entender o passado, que foi se transformando no tempo até chegar à contemporaneidade. Assim, é torna-se muito conveniente para os arquitetos atuais, que seriam entendidos como os mais evoluídos, por estarem “no fim da história”.
  • O progresso e as possibilidades construtivas atuais, voltados para superar as limitações existentes e alcançar um melhor desempenho, entrariam em conflito com os antigos arquitetos desprovidos dos recursos tecnológicos contemporâneos. Trata-se de uma característica do período pós-Revolução Industrial, marcado pelo crescente aumento da capacidade produtiva e matrizes energéticas quase ilimitadas, mas não sustentáveis em um futuro não tão distante, como deflagrado pela crise do petróleo da década de 1970). Destaca-se o impacto desse cenário na produção e velocidade construtiva dos edifícios, com apresentam grande contraste ao longo da história.
  • Considera-se também os pressupostos colonialistas e eurocêntricos da abordagem cronológica, por hierarquizar as sociedades em mais ou menos evoluídas no tempo e no espaço (ou mais ou menos consumidoras de energia, conforme suas disponibilidades tecnológicas). É uma visão que atravessa vários estilos arquitetônicos impostos pela Europa, excluindo a Ásia e a África por exemplo. Ela também é apropriada pelo Movimento Moderno com Le Corbusier, que opõe racionalismo e historicismo, ainda em um forte contexto de colonialismo na África.
  • Ainda hoje, novos movimentos arquitetônicos, que defendem regionalismos com “marcadores culturais” fortes (defendendo formas arquitetônicas tradicionais), beneficiam grupos locais mais privilegiados, excluindo outros que são marginalizados.
  • Pretende-se questionar essa leitura simplista, linear e colonialista da passagem do tempo na Arquitetura, já que não existem sucessões evolutivas ou sequências cronológicas lineares de acessões e decadências de estilos como visto na bibliografia tradicional. Assim, busca-se uma desconstrução dessa cronologia convencional, propondo diferentes possibilidades de olhar, a partir da tecnologia e da cultura.

Quando termina a Antiguidade?

Figura 73: Palácio do imperador Diocleciano em Spalato, atual Split, Croácia, c. 306 d.C. Desenho: Ernest Hébrard, 1912

a
b

Figura 74: Espalato, plantas reconstituídas por Ernest Hébrard, 1912. a – Palácio de Diocleciano, b – Split, cidade construída sobre os vestígios do palácio

Figura 75: Palácio de Diocleciano em Espalato, elevação do peristilo oriental e corte do vestíbulo. Reconstituição por George Niemann, 1910

Figura 76: Palácio de Diocleciano em Espalato, corte do mausoléu e elevação do vestíbulo. Reconstituição por George Niemann, 1910

Figura 77: Constantinopla c. 360 d.C. Reconstituição de Rocío Espín Piñar

Figura 78: Mediolanum, atual Milão, nos séculos III a IV. Desenho: Cristiano64, 2010

Figura 79: Fronteiras do império romano durante o governo de Constantino, o Grande, 312–333. Desenho: Cristiano64, 2010

Figura 80: Europa em 476 d.C. Desenho: Richard Ishida, 2016

Figura 81: Europa em 925 d.C. Desenho: Richard Ishida, 2016

Espólios e cultura edilícia

Figura 82: Arco de Constantino, Roma, 312 d.C. Foto: Alfvan Beem, 2011

Figura 83: Arco de Constantino, Roma, 312: espólios de monumentos anteriores. Desenho por Marsyas, 2006 baseado em Ward-Perkins

Bibliografia

Avner, Rina. “The Dome of the Rock in Light of the Development of Concentric Martyria in Jerusalem: Architecture and Architectural Iconography”. Muqarnas 27 (2010): 31–49. https://www.jstor.org/stable/25769691.
Ball, Philip. Universe of Stone: Chartres Cathedral and the Invention of the Gothic. New York: Harper Perennial, 2009.
Benvenuto, Edoardo. Vaulted Structures and Elastic Systems. An Introduction to the History of Structural Mechanics 2. New York: Springer, 1991.
Brown, Percy. Indian Architecture: Buddhist and Hindu Periods. Bombay: D.B. Taraporevala Sons, 1959. http://archive.org/details/in.gov.ignca.18060.
Ciblac, Thierry, e Jean-Claude Morel. Sustainable Masonry: Stability and Behavior of Structures. Mechanical Engineering e Solid Mechanics Series. London : Hoboken, N.J.: iSTE ; John Wiley & Sons, 2014.
Conant, Kenneth John. Carolingian and Romanesque Architecture: 800 to 1200. New Haven; London: Yale University Press, 1993.
Grabar, Oleg. “The Islamic Dome, Some Considerations”. Journal of the Society of Architectural Historians 22, nº 4 (1963): 191–98. https://doi.org/10.2307/988190.
Henriet, Jacques. Recherches sur les premiers arcs-boutants. Un jalon : Saint-Martin d’Étampes. Bulletin Monumental 136, nº 4 (1978): 309–23. https://doi.org/10.3406/bulmo.1978.5732.
Rondeaux, Jean-François, e Denis Zastavni. “A Fully Graphical Approach for Limit State Analysis of Existing Structures: Application to Plane Elastic-Plastic Bended Structures and to Plane Masonry Arches. International Journal of Architectural Heritage 12, nº 3 (abril de 2018): 409–31. https://doi.org/10.1080/15583058.2017.1323252.
Smith, Christine. “East or West in 11th-Century Pisan Culture: The Dome of the Cathedral and Its Western Counterparts. Journal of the Society of Architectural Historians 43, nº 3 (1984): 195–208. https://doi.org/10.2307/990001.
Smith, E. B. The Dome: A Study in the History of Ideas. Princeton-Monographs Em Art e Archaeology 25. Princeton, N. J: Princeton Univ. Pr, 1978.
Taylor, Rabun. “A Literary and Structural Analysis of the First Dome on Justinian’s Hagia Sophia, Constantinople. Journal of the Society of Architectural Historians 55, nº 1 (1996): 66–78. https://doi.org/10.2307/991056.
Taylor, William, e Robert Mark. “The Technology of Transition: Sexpartite to Quadripartite Vaulting in High Gothic Architecture. The Art Bulletin 64, nº 4 (1982): 579–87. https://doi.org/10.2307/3050269.